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参考答案及评分标准 一．选择题 DBCBC BCADB BD
二．填空题 13.4 14.4 15. 16. ②④
三．解答题
17．解：
（Ⅰ）由余弦定理知， ,
∴ , …………………………2分
∴ ，
∵ ，∴ . ……………………………4分
（Ⅱ）
∵ ,∴ ,……………………………8分
∴ ,
∴ ,
∴ 的取值范围为 .……………………10分
18．解：
（Ⅰ）设“4人正好选择了同一个社团”为事件A.
每个学生都有3种选择，4名学生的选择共有 种等可能的情况.
事件A所包含的等可能事件的个数为3， ………………4分
所以， . ………………6分
即4人正好选择了同一个社区的概率为 .
（Ⅱ）设“至多有两名同学选择甲社区”为事件B；
则 ，或 .
即至多有两名同学选择甲社区的概率是 . ……12分
19．解：（Ⅰ）连结AC1交A1C于点G，连结DG，
在正三棱柱ABC—A1B1C1中，
四边形ACC1A1是平行四边形，
∴AG=GC1，
∵AD=DB，
∴DG//BC1 ………………2分
∵DG 平面A1DC，BC1 平面A1DC，
∴BC1//平面A1DC. ………………4分
（II）解法一：易知 在 中可求 ， ……6分
过D作DE⊥AC交AC于E，过点D作DF⊥A1C交A1C于F，
连结EF.
∵平面ABC⊥平面ACC1A1，DE 平面ABC，
平面ABC∩平面ACC1A1=AC，
∴DE⊥平面ACC1A1，
∴EF是DF在平面ACC1A1内的射影.
∴EF⊥A1C，
∴∠DFE是二面角D—A1C—A的平面角， ………………9分
在直角三角形ADC中， .
又易知 ，所以 .
在直角三角形 中，
，∴ .
所以二面角D—A1C—A的大小为 ……………………12分
解法二：易知 在 中可求 ，
过点A作AO⊥BC交BC于O，过点O作OE⊥BC交B1C1于E .
因为平面ABC⊥平面CBB1C1，
所以AO⊥平面CBB1C1，分别以OB、OE、OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示. ………………………………6分
因为BC=1，AA1= ，
△ABC是等边三角形，所以O为BC的中点，则
.
………………8分
设平面A1DC的法向量为
则
取
可求平面ACA1的一个法向量为 . ………………10分
设二面角D—A1C—A的大小为 ，因为向量 所成的角与所求二面角的大小相等，
则
所以二面角D—A1C—A的大小为 ………………12分
20.解：
（Ⅰ）
………………2分
两式相减得：
即 ………………4分
又 ， ，
所以 是首项、公差均为2的等差数列，
………………6分
（II） ，
，
………………8分
两式相减得：
………………10分
…………………………12分
21．解：(Ⅰ) 由已知
即 ,解得 ………………2分
,
,
. ……………………4分
（II）令 即
或 , …………………………6分
在区间 上恒成立，
∴ . ……………………8分
（Ⅲ）
, ……………………9分
∴ 的单调减区间为 ， ； 的单调增区间为
又 .因此
①当 ；
② .
∴ 的取值范围为 ………………12分
22.解：（Ⅰ）依题意，可得 ，从而 ，
故所求双曲线的方程为 . …………………………………4分
（II）由 ，消去x可得 ，
依题意 ，设 ，由韦达定理，得
…………………………………6分
两式相除，得 ,
所以 ，而C点的坐标为 ，故直线AC的斜率为 , …………………………8分
所以，AC的方程为 ，
整理可得 , ……………………………………………10分
故直线AC恒过 点. …………………12分
（II）解法2
当 时，直线方程为 ，将 与 联立求得点 或 ，点 或 ,求得直线 的方程为 或 ，由此判断直线 过定点 . ……………………6分
就一般情况证明如下：
由 ，消去x可得 ，
依题意 ，设 ，由韦达定理，得
………………………………………………8分
点 ， . . ……………10分
因为 ,
所以 三点共线，直线AC过定点 .…………………………12分
桂林数学家教
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